Chapitre I
TRANSFORMATION PAR RAYON RÉCIPROQUE

Considérons le tableau IV; à chaque courbe de la figure supérieure, correspond une droite de la figure inférieure.
    Comme déjà mentionné, les deux chiffres doivent être considérés comme se chevauchant.
    Le chiffre supérieur représente l'espace non euclidien; le chiffre inférieur représente l'espace euclidien
(dans lequel le 5ème postulat d'Euclide est valide). Aux tangentes droites ab, bc, cd de l'espace euclidien
(fig. Inférieure) correspondent les tangentes courbes ab, bc, cd de l'espace de courbure variable
(fig. Supérieure); aux parallèles euclidiens droits correspondent les parallèles non euclidiens courbes;
les angles coupent les droites euclidiennes et les droites non euclidiennes correspondantes sont égales / identiques.
    Les formules d'inversion pour la transformation du cosmos exosphérique classique dans un endosphérique sont :
où x1 et y1 sont les coordonnées inverses de x et y

La projectivité [TN mieux connue sous le nom d'homographie ou transformation projective]
est une correspondance algébrique bijective entre S1 et S'1 ou, aussi une correspondance bijective et continue
entre S1 et S1', qui préserve les bi-ratios [TN mieux connu sous le nom de ratios croisés].
    L'involution est un cas remarquable de projectivité entre deux formes du premier genre dans laquelle
les deux éléments correspondent toujours de manière double.
Les deux éléments sont dits conjugués dans l'involution,
laquelle a deux points fixes ou doubles dans chacun desquels deux éléments conjugués coïncident.
    Une conique constitue une correspondance, dépendante de la conique, entre les points et les lignes d'un plan :
cette correspondance est appelée polarité; une corrélation involutive
entre deux plans superposés est une polarité plane.
    Si un point P et un plan p ont une correspondance bidirectionnelle dans la polarité
[TN c'est-à-dire qu'ils ont une relation réciproque unique], alors ils sont respectivement
ledit pôle p et polaire P. Si le deuxième des deux points est sur la polaire de la première,
la première se situe sur la polaire de la seconde: les deux points sont dits conjugués ou réciproques en polarité.
    Un point est dit être auto-conjugué [TN ou communément, absolu] s'il se trouve sur sa propre polaire.
    Une polarité est représentée par des équations de / sous la forme:

    La condition où deux points P (x, y, z) et Q (x ', y', z ') sont conjugués dans la polarité «(1)»
est rencontrée exprimant que Q repose sur le Polar P, c'est-à-dire:
où u, v, w sont des coordonnées de Plucker homogènes et x ', y', z 'sont des coordonnées cartésiennes homogènes.
    En changeant u, v, w avec les expressions «(1)» on a:

    En définissant x = x ', y = y', z = z! il y a la condition pour avoir P (x, y, z) auto-conjugué,
ce qui signifie qu'il se trouve sur sa propre polaire. Les lieux des points auto-conjugués d'une polarité
est une courbe du 2ème ordre donnée par l'équation:
qui est l'équation fondamentale de polarité. En étendant l'espace, une quadrique ayant une discrimination non nulle
détermine une correspondance dans l'espace, qui transforme chaque point dans son plan polaire
et chaque plan en son pôle; en particulier, chaque point de la quadrique correspond à son plan tangent, et vice versa.

    Inversion ou transformation de cercle par rayons réciproques [TN par rapport à un cercle]
    Si l'équation fondamentale de la polarité est un cercle, nous avons la transformation quadratique
appelée par rayons réciproques. Étant donné un cercle de centre O et de rayon r, à chaque point P extérieur au cercle
correspond ce point P' de la droite OP qui fait OP. OP'= r2 (ainsi que dans le signe ?).
P'est l'intersection de la ligne joignant les deux points de contact des tangentes tracées par P au cercle
avec la droite OP. La correspondance entre P et P 'est récirpoque et bijective mutuellement sauf pour P
lorsqu'il coïncide avec O, point auquel aucun point fini ne correspond, ou le point conventionnel (∞, ∞),
c'est-à-dire les points du plan à l'infini (voir « Procédure d'inversion »).
    Entre P (x, y) et P'(x', y') y et r = 1 les formules suivantes sont appliquées :

L'inversion ne change pas les angles, ce qui signifie qu'elle est isogonale ou conforme.
    Si le point P décrit une courbe, le point inverse P'décrit une courbe inverse de la précédente.
    L'inversion d'une ligne droite est un cercle. Si la droite passe par O, alors elle se présente comme inverse.
    Par inversion chaque cercle se transforme en cercle ou en ligne droite si le cercle primitif passe par O.
    Avec une procédure similaire à celle déjà appliquée pour un plan nous avons pour la sphère spécifique
une extension évidente du «(2)» à la troisième coordonnée z. L'inversion transforme les sphères en sphères, etc.
    Ainsi l'inversion est une projectivité homogène qui, à travers «(2) »,
permet de remonter de l'espace externe à l'espace interne celui d'un cercle (ou d'une sphère).
    Nous nommerons cosmique cette projectivité qui, pareillement à la projectivité du miroir,
permet d'interpréter l'espace externe comme espace euclidien apparent et interne l'espace comme l' espace réel.
    Si l'on applique le «(2)» à la transformation de l'Univers, cela nous paraît plat, Univers fait de lignes droites,
on peut monter l'Univers réel, projeté, selon l'appellation, sur l'espace plat,
faisant abstraction des propriétés métriques. En assimilant les ellipses (orbites) à des cercles,
la figure de l'Univers Cosmocentrique (voir 2) n'est autre que le résultat de la transformation
de l'univers héliocentrique euclidien apparent (voir) dans l'univers réel, en tenant compte des données d'observation.