Chapitre I
TRANSFORMATION PAR RAYON RÉCIPROQUE

    La transformation par rayons réciproques se réfère en général à l'espace tridimensionnel.
J'expose cette transformation en référence au plan, ou plutôt à deux plans qui se chevauchent.
    Chaque point sur l'un des deux plans correspond à un autre point sur l'autre plan, et vice versa.
    Les points qui se chevauchent, sont définis fixes, c'est-à-dire qu'ils correspondent à eux-mêmes.
    Sont fixés les points de la circonférence par rapport auxquels la transformation est effectuée.
Une exception importante est la suivante: tous les points à l'infini
(c'est-à-dire les directions du nombre infini de droites)
ne correspondent qu'à un seul point, le centre du cercle par rapport auquel la transformation est effectuée,
et vice versa. L'inversion géométrique (par rayons réciproques) est une transformation quadratique ou crémone
et a les propriétés suivantes: par rapport à un cercle transforme [TN ou communément, cartographie]
les arcs en arcs, les droites en cercles passant par le centre d'inversion O.
    La droite passant par O se transforme en elle-même.
    L'inversion est une correspondance isogonale ou conforme, ce qui signifie qu'elle préserve les angles
mais inverse leur orientation. L'inversion s'étend à la 3e coordonnée (sphère)avec les mêmes propriétés:
les sphères se transforment en sphères, les plans en sphères passant par le centre d'inversion et vice versa.
    Au plan à l'infini, c'est-à-dire à toutes les directions de l'espace, correspond le centre O 'de la sphère
par rapport auquel s'effectue l'inversion. Nous traiterons la transformation référée au plan,
dans un souci de simplicité et de clarté. Chaque point interne du cercle d'inversion correspond
à un extérieur à lui, et vice versa. Dans le tableau I, nous avons considéré deux cercles
(cependant considérés comme superposés): si nous superposons les deux cercles, nous aurons, dans la même figure,
la tangente courbe interne et la tangente droite externe, qui se correspondent; les deux points de contact
qui se chevauchent constituent un seul point fixe.
    A gauche du tableau II, nous avons la procédure géométrique d'inversion, pour obtenir le point interne du cercle
qui correspond à un point externe et vice versa.
    Étant donné un cercle de rayon par exemple 1 mètre, nous considérons le point 2 (à 2 m du centre du cercle)
et tirons de 2 les deux tangentes au cercle, en passant par les deux points de contact a et b,
nous considérons maintenant le point où le segment de droite joignant a et b coupe le segment de droite
joignant 2 avec le centre du cercle: le point d'intersection est 1/2 (un demi-mètre) qui est l'inverse multiplicatif
[TN ou réciproque] de 2 (d'où le nom inversion ou rayons réciproques).
    Au point externe générique m correspondra le point interne A et vice versa. Si c'est un point à l'infini,
alors à partir de lui sont dessinées des tangentes parallèles qui touchent le cercle aux extrémités
d'un diamètre du cercle donné, à ce point générique à l'infini correspondra le centre du cercle, c'est-à-dire,
comme déjà mentionné, à chaque point à l'infini (direction) correspond exactement un point,
c'est-à-dire le centre du cercle d'inversion.
    Pour trouver le centre N d'un arc de cercle OP, arc qui correspond à un segment externe de la droite C,
on considère la petite figure à droite du tableau II où le segment de ligne externe non pointillé de C correspond
à l'arc OP passant par O et par le point fixe P. Le centre N recherché est situé à l'intersection de l'extension
du diamètre du cercle avec les perpendiculaires au milieu de la corde OP, tableau II.
    Au segment euclidien droit en pointillé à l'intérieur du cercle d'inversion correspond l'achèvement de - / a /
l'arc non euclidien extérieur au cercle (voir aussi le tableau XI).