Chapitre XVII

    En géométrie, vous pouvez facilement étudier les figures solides avec des arêtes droites.
    Archimède s'est engagé à trouver une formule pour calculer l'aire de la surface sphérique,
mais a rencontré la difficulté de développer une telle surface sur un plan, ce qui n'a pas été trouvé
avec les autres solides. Il est arrivé à sa fameuse formule à la recherche d'un solide qui pourrait être développé
sur un plan équivalent à la surface non développable d'une sphère. Il atteint cet objectif en construisant
avec des tôles d'épaisseur uniforme la surface d'une sphère et un cylindre circonscrit à la sphère ayant pour base
un cercle égal au cercle maximum de la sphère. Archimède a reconnu - et c'est en quoi consiste sa découverte -
que la feuille de la surface sphérique et celle du cylindre circonscrite autour de la sphère avaient le même poids.
    En développant la surface du cylindre sur un plan, il obtiendrait un rectangle de base égale
au cercle maximum susmentionné et de hauteur égale au diamètre de la sphère:
2pir (base du rectangle) x 2r (hauteur du rectangle), et a écrit la fameuse formule 2pir x 2r = 4pir2.
    Parce que la feuille de la sphère et celle du cylindre avaient le même poids, il a supposé comme surface de la sphère
la formule A = 4pir2 susmentionnée (qui a été confirmée environ 1800 ans plus tard
dans le calcul intégral pertinent de Newton).

    Le cylindre peut être développé sur un plan; à son développement la géométrie euclidienne est applicable,
tandis que pour la sphère elle n'est pas développable et pour rechercher sa zone superficielle
la géométrie euclidienne n'est pas applicable. Les deux figures géométriques d'aires égales (mesures) superficielles,
et donc équivalentes, ont une structure différente, l'une euclidienne et l'autre non euclidienne.
Les deux théories de l'univers, exosférique et endosphérique, ont pareillement deux espaces équivalents,
siège l'un et l'autre d'un cosmos ayant la même quantité de matière, mais avec des structures physiques différentes:
    La première a des lignes de force rectilignes dans lesquelles la géométrie euclidienne est appliquée ,
la seconde a des lignes de lignes courbes de force, auxquelles s'applique une géométrie non euclidienne,
bien qu'équivalentes les unes aux autres (elles ont une quantité égale de matière).

    Les deux espaces équivalents sont liés par une transformation géométrique qui permet de passer
d'un espace à l'autre (et vice versa) indifféremment. La différence entre eux est la manière dont la matière
est distribuée: dans la première elle est extrêmement raréfiée, sauf pour un certain nombre de points singuliers,
dans l'autre extrêmement concentrée. Les deux espaces se correspondent de telle sorte qu'à chaque point
du premier correspond l'un dans l'autre (et vice versa). Une telle correspondance géométrique est régie
par une opération algébrique et géométrique appelée transformation par vecteur de rayon réciproque.
    Sur la figure de la planche II, au point 2 à l'extérieur du cercle, correspond le point E2 à l'intérieur du cercle.
    En effet conduisant du point 2 deux droites tangentes au cercle aux points a et b la conjoncture de ces deux points
coupait au 1/2 point le point de conjoncture 2 avec le centre du cercle.
    De même, on obtient les points correspondants 3 et 1/3, etc .... Etant un 1/2 l'inverse de 2, la correspondance
prend le nom de transformation par vecteur de rayon réciproque. Les points externes infinis correspondent
aux points internes infinis et vice versa. Il est démontré que deux segments de droite, même de longueurs différentes,
sont tous deux également constitués de points infinis.

    Dans son «Dialogue», Galilée écrit: «Un infini plus grand que l'infini me semble un concept
qui ne peut être compris d'aucune façon. Ce sont des difficultés qui découlent de la discussion que nous entretenons
avec notre intellect fini autour des infinis, donnant ces attributs que nous donnons aux choses finies et finies ...
    Nous ne pouvons pas dire qu'un infini est plus grand, moins ou égal à un autre infini. .. Quand ils me demandent,
étant donné des lignes de longueur inégale, comment se fait-il qu'il y ait plus de points
dans les majeurs que dans les mineurs, je réponds qu'il n'y en a ni plus ni moins, ni autant, mais chacun est infini ».

    Dans la transformation susmentionnée, les lignes droites d'une figure sont transformées en lignes courbes.
    Tout l'univers exosphérique dominé par des lignes droites change dans tout l'univers dominé par des lignes courbes;
dans le premier domine la géométrie euclidienne, dans le second une géométrie non euclidienne.
    Compte tenu de l'homogénéité et de l'isotropie de l'espace exosphérique, deux kilomètres euclidiens
représentés par des segments de ligne droite de longueur entre eux sont transformés en kilomètres non euclidiens
représentés dans un espace endosphérique non homogène et non isotrope d'arcs / arcs égaux ou inégaux
selon si nous avons un rayon égal ou inégal de courbure finie. La mesure d'une longueur implique toujours
    la comparaison avec une longueur d'échantillon. Dans un espace où nous appliquons la géométrie euclidienne,
les lignes droites ont des caractéristiques nulles car en chaque point il y a un rayon de courbure infini.
Dans un espace où nous appliquons une géométrie non euclidienne, les arcs / arcs ou secteurs de circonférence
ont un rayon de courbure finie.
    Le mètre international est le même en chaque point de l'espace plat, euclidien, tandis que dans un espace courbe,
non euclidien, le mètre est un sous-multiple du rayon de courbure local. Dire que deux atomes d'hydrogène
ont la même taille signifie que la taille de chacun d'eux est la même fraction de la courbure
de l'espace où ils se trouvent. Les mouvements rigides sont typiques d'un espace libre de toute caractéristique
telle qu'Euclidienne, alors que les mouvements non rigides appartiennent à / se trouvent dessus ?
un espace non euclidien à courbure variable dans lequel les corps, en se déplaçant,
ne changent pas numériquement de dimension; mais l'unité de mesure par rapport à laquelle
les corps sont mesurés change, étant telle unité de mesure non un sous-multiple du rayon de courbure local,
c'est-à-dire de la place occupée par le corps, instant par instant, au cours de son mouvement.
    Le champ endosphérique est soumis à des processus de contractions et de dilatations. Einstein a dit:
"Le champ gravitationnel déforme mon regoli rigide". Un observateur qui suit un corps en mouvement
ne pourrait en aucun cas vérifier une telle contraction ou dilatation, car lui aussi,
avec ses instruments de mesure, serait soumis aux mêmes lois auxquelles cet organe est soumis.
    Quelle que soit la définition acceptée par le géomètre pur, le physicien doit définir l'espace
comme quelque chose qui se caractérise en chaque point par une quantité intrinsèque qui peut être utilisée
comme base pour mesurer les objets qui y sont placés. L'espace physique ne peut pas manquer de caractéristiques.
    Dans la terminologie géométrique, les caractéristiques de l'espace sont dessinées sous forme de courbures.
    Eddington écrit: «l'identité indifférentiste et le rien ne peuvent être distingués philosophiquement.
    La réalité de la physique sont des inhomogénéités, des événements, des changements ».
    L'uniformité de l'espace et la rigidité conséquente des mouvements constituent l'un des points les plus faibles
de la conception exosphérique de la conception exosphérique de l'univers.