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    Le problème peut-être le plus discuté, lié à la transformation de Lorentz, est celui de la variation des longueurs,
de la durée et de la masse du corps en fonction de son mouvement. Ce sont des phénomènes réels ou apparents.
    Tout d'abord, nous devons préciser ce que nous entendons par réel et ce que nous entendons par apparent.
    Si un observateur K voit devant lui un régolo se déplaçant avec un mouvement rectiligne uniforme à une vitesse,
par rapport à lui, comparable à celle de la lumière et procède à la mesure de sa longueur,
le résultat de la mesure effectuée (avec uniquement des moyens optiques) diffère d'une mesure similaire
effectuée (avec des moyens tactiles) à partir d'un observateur différent K', solidement avec le regolo
et précisément la longueur l obtenue par le premier observateur sera inférieure à la longueur l détectée par la seconde.
    Nous aurons, sur la base de la transformation de Lorentz.

où v est la vitesse du regolo et c la vitesse de la lumière. Pour l'observateur K, le regolo apparaît raccourci.
    Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que la longueur mesurée par K' voyageant solidement avec le regolo, est vraie:
K détecte un raccourcissement de cette longueur réelle, ce qui signifie qu'il détecte une longueur apparente.
    C'est le noeud du problème et a donc été envisagé par Enrico Fermi, Straneo, Castelnuovo
et de nombreux autres scientifiques.
    Cela n'a pas empêché et n'empêche pas cependant de discuter de ce problème que la même inversibilité
des équations de Lorentz protège de tout doute. En effet, si c'était à K'de juger de la longueur
d'un regolo identique au premier mais désormais solidaire de K, ce serait à K' de détecter pour ce regolo
une longueur plus courte que celle détectée par K.
    Il s'ensuit que le regolo itinérant avec un mouvement rectiligne uniforme dans un espace pseudo-euclidien supposé
(avec la seule utilisation physique de la lumière) aussi vide que l'espace euclidien,
le regolo ne se raccourcit vraiment pas du tout, il ne subit aucune contraction inhérente à sa structure moléculaire,
comme le pensait à tort Lorentz lui-même, puis en changeant d'avis de manière définitive.
    On conclut donc que la longueur réelle est celle mesurée principalement avec l'intervention du toucher (espace tactile),
tandis que la longueur apparente est celle mesurée avec l'intervention uniquement de la vue (espace optique).
    J'omettrai un raisonnement similaire à faire pour la «dilatation» du temps, phénomène purement apparent.
    Ces notions et découvertes fondamentales doivent toujours être gardées à l'esprit lorsque l'on considère
les événements d'un point de vue relativiste, à l'usage, c'est-à-dire de transformations fondées sur la théorie des groupes,
comme la transformation de Lorentz sur la relativité restreinte et d'autres transformations relativistes,
y compris en en particulier, Fantappie sur la relativité finale, développé par Giuseppe Arcidiacono.
    Le voyage imaginé par un physicien distingué, P. Langevin, est célèbre; il supposait que l'un des deux jeunes jumeaux
voyageait à une vitesse fantastique depuis la Terre, se poussant jusqu'à une étoile lointaine et revenait
avec la même vitesse inversée sur Terre pour s'y arrêter.
    En supposant que la vitesse de translation v suffisamment élevée (à côté de celle de la lumière),
le jumeau qui avait voyagé serait revenu encore un enfant, tandis que l'autre jumeau qui restait constamment sur Terre
aurait dû vieillir! Que ce ne soit qu'un paradoxe absurde est prouvé par le fait que par l'inversibilité
des transformations de Lorentz, c'est le jumeau voyageur qui à son retour retrouverait encore jeune le jumeau resté sur Terre.
    Il faut ajouter la circonstance grave de l'utilisation illégale des formules de Lorentz qui ne prévoient
que des mouvements rectilignes uniformes (sinon la transformation ne la laisserait pas inchangée même sous la forme
de la loi du mouvement), tandis que le jumeau voyageant, inversant la voie pour le retour,
est animé par un mouvement accéléré.
    Le problème de la réalité ou de l'apparition de phénomènes dans la théorie de la relativité spéciale doit être envisagé
de manière similaire dans les autres théories relativistes fondées sur la théorie des groupes,
en particulier dans la relativité finale. L'unification du champ électrique et du champ hydrodynamique
a un caractère apparent et non réel, car elle dépend de la distance de l'observateur. «Il doit arriver, écrit Arcidiacono,
qu'un phénomène purement hydrodynamique, qui se produit sur une galaxie lointaine, apparaisse, du fait de la distance,
de nature magnétohydrodynamique. A de petites distances de l'observateur ... le champ électromagnétique
et le champ hydrodynamique sont indépendants l'un de l'autre. A de longues distances au contraire ... les deux champs
en viennent à se confondre intimement, à travers la constante universelle r, en un seul champ magnéto-dynamique ».